Начало науки о рассуждениях

Развитие математической логики

1.От Аристотеля до Гёделя

1.1. Начало науки о рассуждениях

Если обратиться к повседневной жизни человека, то можно выделить одно из важных действий, обогащающих его познание. Это – правильное умозаключение.

Если нам недостает знаний о каком-либо предмете или явлении, мы обращаемся к учебникам, справочникам, энциклопедиям, к специалистам; если же мы не хотим или не можем воспользоваться такого рода помощью, остается идти к нужным сведениям через наблюдение или опыт, либо при помощи рассуждений.

Определенное рассуждение конкретного вида и называется умозаключением.


	Пример 1. Питьевую воду, которую мы берем из непроверенного источника, необходимо кипятить. В походе нет возможности проверить качество воды в обнаруженном источнике. Следовательно, в походе необходимо кипятить воду.


	Пример 2. Родные братья носят общую фамилию. Фамилия Димы – Иванов. Лёша – родной брат Димы. Следовательно, фамилия Лёши – Иванов.

Присмотримся ближе к тому действию, которое мы называем умозаключением. В нём мы всегда имеем дело с двумя группами сведений:

1) сведения, которыми мы располагаем до начала рассуждения;

2) сведения, которые выводятся из первоначальных именно путём рассуждения.

Принято называть сведения 1) посылками, а сведения 2) - выводами (заключениями).

Очевидно, что не каждое рассуждение углубляет наши знания и обогащает истинными сведениями. Рассуждение, как и всякое другое действие, может быть ошибочным (ложным), и тогда трудно полагаться на выводы. Кроме того, если посылки в рассуждении были ложными, то нет основания доверять выводам из них, хотя бы по аналогии с другими видами человеческой деятельности.

Та же аналогия помогает установить, когда умозаключение следует считать правильным. Посылки - это материал, сырьё для умозаключения, а выводы – готовая продукция. Если посмотреть на какой-либо вид человеческой деятельности, то каждый согласится считать деятельность хорошей (качественной), если посредством её добротный материал превращается в добротную продукцию. То же самое можно сказать и об умозаключениях. Метод получения выводов является хорошим, если он из “хороших” посылок дает “хорошие” выводы. Обычно принято считать хорошими сведения, если они истинны (т.е. соответствуют действительности). Следовательно, хорошим (правильным) назовем такое умозаключение, которое от истинных посылок приводит к истинным выводам.

Естественно, такое описание правильного умозаключения пока не даёт никакого конкретного рецепта, как проводить правильные умозаключения. Раскрытием подобного рода рецептов издревле занимались различные мыслители, формулируя правила, схемы правильных умозаключений. Эти учёные были названы логиками, а наука, устанавливающая общие методы (схемы) правильных умозаключений получила название формальной логики.

Первые общие схемы правильных рассуждений были изложены Аристотелем (4 в. до н.э.). Независимо от него в 3 в.до н.э. подобными схемами занимался и Хризипп. Логика Аристотеля опирается на понятия, связанные с выделением класса объектов (явлений, ситуаций).

Древнегреческие схемы умозаключений были несколько развиты и пополнены в средние века. В XVIII в. логика обязана своим прогрессом немецкому математику Лейбницу, который вынашивал замысел универсального логического исчисления и говорил, что в будущем весьма вероятной представляется картина, когда философы вместо бесплодных споров смогут браться за бумагу и перо и вычислять, кто из них прав. Затем Джон Буль (1815 – 1864) положил начало созданию аппарата математической логики (МЛ) в виде логики высказываний.

В двадцатом веке математическая логика окончательно оформилась как научная дисциплина. В 1900 году, на пороге ХХ века Давид Гильберт сформулировал стройную программу обоснования математики на основе МЛ, что породило даже математическую школу, занимающуюся этим направлением: целая группа французских математиков затеяла мистификацию, представив миру Никола Бурбаки, вымышленного персонажа, труды которого в русле логических исследований, однако, являются подлинными, добротными. Математики Фреге (1848 – 1925) и Пеано (1858 – 1932) занимались логико-математическими языками, теорией их смысла, точным изложением больших разделов математики. Исторически важным для развития МЛ явилось издание трёхтомной монографии по логике Расселом и Уайтхедом в 1910-1912 гг. Неудивительно, что толчок к расцвету логических исследований был дан математиками, ведь математика – наука, в которой умозаключение играет более важную роль по сравнению с другими науками.

Внешне МЛ отличается от обычной тем, что она широко пользуется языком математических и логических знаков. Довольно рано возникла идея о том, что, записав все исходные посылки специальными, похожими на математические, знаками, можно заменять рассуждение вычислением. Точно сформулированные правила таких логических вычислений, в свою очередь, можно перевести на входной язык компьютера, который автоматически будет выдавать все следствия из исходных допущений.

В МЛ предметом исследования часто оказываются математические теории: алгебра, геометрия, арифметика. В рамках МЛ ведётся изучение теории в целом.

Мы обычно полагаем, что о каждом утверждении можно точно узнать, истинно оно или ложно. Но в процессе развития наук, в частности, в процессе создания математических теорий возникают парадоксы, то есть утверждения, для которых нельзя допустить ни их истинность, ни их ложность. Причина возникновения парадоксов кроется либо в неосторожном обращении с посылками в рассуждениях, либо в бесконтрольном проведении умозаключений. Анализ парадоксов очень полезен. Он приводит к пересмотру неточностей в построении теорий.

Приведём несколько примеров парадоксов.


	Пример 3. Исторически важным является парадокс Магеллана. После кругосветного плавания, в котором моряки точно отмечают количество затраченных на плавание суток, они прибывают домой. Вообразим их удивление, когда сверив свою дату прибытия с датой на родном испанском календаре, они убеждаются, что прибыли не сегодня, а… вчера. Парадокс возник из-за того, что тогда ещё не была принята система Коперника; считалось, что не Земля вращается вокруг Солнца, а Солнце вокруг Земли, поэтому не были учтены поправки во времени, связанные с вращением Земли. Сегодня каждый школьник знает, что не только при дальних полётах из Европы в Америку, но и при любом путешествии в направлениях с востока на запад и наоборот нужно такие поправки учитывать.

Пример 4.

Парадокс лжеца. Некий человек говорит:

Фраза, которую я произношу, ложна.

Если он сказал ложь, то по смыслу фразы - она правдива. И наоборот.

Всё дело в том, что смысл фразы может быть определен только за её рамками. О смысле можно говорить после того, как фраза уже вся сказана.


	Пример 5. Парадокс Греллинга. Существуют прилагательные, не обладающие свойством, которое они выражают, например, “красное”, “сочное”. Вместе с тем можно привести примеры прилагательных, обладающих свойством, которое они выражают, например, “русское”, “многосложное”. Назовём прилагательные первого вида гетерологическими, а второго рода – автологическими. Тогда что можно сказать о прилагательном “гетерологическое”? Если оно гетерологическое, то не обладает свойством, которое выражает, то есть является автологическим! Выход из парадоксальной ситуации - исключить термины "гетерологическое" и "автологическое" из множества слов русского языка, включив их во "внешние" средства описания русского языка, то есть в метаязык.

Пример 6.

Парадокс Рассела.

Развитая Георгом Кантором наивная теория множеств, на которую опирались многие математические рассмотрения, не накладывала никаких ограничений на употребление понятия множества. В частности, можно рассмотреть М : “множество всех множеств”. Такое множество, очевидно является элементом самого себя. Поделим множества на два класса : множества, которые содержат себя в качестве своего элемента, и множества, не содержащие себя в качестве элемента. Образуем множество Х: “множество тех множеств, которые не являются элементами самих себя”. К какому классу относится Х?

Очевидно, если Х не является своим элементом, то оно по определению должно войти в Х. Парадокс.

Выход из него возможен, если ограничить понятие множества, рассматривая в теории только все части некоторой первоначально выбранной совокупности элементов - универсума.

Основной метод математического обоснования теории состоит из двух этапов.

А) Вначале теорию уточняют и строго описывают на базе логико-математического языка. Этот процесс носит название формализации.

Б) После формализации теорию подвергают точному математическому изучению, ставя вопросы и получая математические результаты.

Какие же вопросы можно ставить по отношению к теории?

Прежде всего, вопрос о непротиворечивости теории. Не выводится ли в данной теории некоторое утверждение и одновременно его отрицание? (Мы знаем, что нельзя утверждать и отрицать один и тот же факт одновременно, это называется противоречием. Конечно, теория, в которой это возможно, является некачественной.)

Второй возможный вопрос: является ли теория полной? Во многих теориях время от времени возникают проблемы, которые не удаётся ни доказать, ни опровергнуть. Теории, в которых такие ситуации исключены, называются полными.

Наконец, показателем совершенства теории может служить разрешимость. Проблема разрешимости формулируется так: существует ли единый механизм (алгоритм), позволяющий для любого утверждения в теории определить, истинно оно или ложно?

Соблюдая принцип "от простого - к сложному", далее мы начнём знакомиться с элементами математической логики в рамках простейшей теории - логики высказываний. В частности, мы проведём первый этап формализации языка. Мы будем ставить и решать некоторые проблемы логики высказываний, которые в дальнейшем помогут изучать её именно как теорию в целом, то есть установить, явлется ли она непротиворечивой, полной и разрешимой.