Формула нужна для компактной упаковки знания, которое следует хранить и передавать кому-либо. Для этого с формулами можно и нужно "работать". Можно трактовать формулу тем или иным способом, в зависимости от того, для какой цели она применяется. (Недаром Анри Пуанкаре говорил, что математика - это искусство давать разным вещам одинаковые наименования. Например, A=B в арифметике может означать "А и В - одно и то же число", а в теории множеств - "Множества А и В состоят и одних и тех же элементов"). Можно сравнивать две формулы - выражают ли они одно и тоже, то есть являются ли эквивалентными? Можно искать среди эквивалентных формул  "наилучшую", выражающую заданный смысл. И наконец можно преобразовывать формулы, получая новое знание из уже имеющихся знаний.

Всё это люди поняли не сразу, как не сразу поняли, что математика - вовсе не искусство счёта, а создание специальных языков, описывающих объекты и отношения между ними, для того, чтобы легче (а иногда и просто возможно!) было через манипуляции с описаниями понять часть окружающей нас действительности и спрогнозировать её развитие.  Каждый язык подобного рода является математической теорией.

ТЕЗИС ТРЕТИЙ             (см. эпиграф третий)

Но для того, чтобы математическая теория была хорошей, следует позаботиться о многих важных вещах:

Во-первых, чтобы преобразования формул в теории не приводили нас к ситуации, когда возникает новое знание в виде двух утверждений типа "Земля существует" и "Земля не существует", то есть к противоречию (конечно, теория, в которой это возможно, является некачественной!). Хорошая теория обладает свойством непротиворечивости.

Во-вторых, во многих теориях время от времени возникают утверждения,  которые не удаётся ни доказать, ни опровергнуть. Хорошая теория, видимо, исключает такие ситуации, то есть обладает свойством  полноты. 

В-третьих, показателем совершества теории может служить свойство разрешимости. Проблема разрешимости формулируется так: существует ли единый механизм (алгоритм), позволяющий для любого утверждения в теории определить, истинно оно или ложно?

Эти критерии, которым должна удовлетворять хорошая теория, были выработаны на протяжении тысячелетнего развития математического аппарата, который зачастую верой и правдой служил человечеству, но иногда давал сбои в виде парадоксов. И всякий раз оказывалось, что корень зла лежит в неточности употребления языковых средств: математических понятий, операций над ними и т.д. Необходимо было уточнение теории - формализация (заметим - слово, однокоренное с формулой!). Так возникла необходимость в описании самой развиваемой математики. Этот язык, как бы стоящий над математикой, так и был назван - метаматематика (над-математика). А исследованиями теорий и рассуждений на предмет их качества занялась отрасль метаматематики - математическая логика.

ТЕЗИС ЧЕТВЁРТЫЙ                  (см. эпиграф четвёртый)

На этапе осознания важного свойства разрешимости теорий повысился интерес к механическим процедурам, производимым на основе точных предписаний, с которыми люди, в общем-то, сталкивались давно. Эти процедуры в математике играют роль не меньшую, чем в других видах человеческой деятельности. Они получили название алгоритмов, по имени арабского математика  Мохаммеда ибн Муса Альхваризми (Аль Хорезми).

Грубо говоря, никому не хочется открывать велосипед заново. Поэтому аккуратным решением всякой математической (и не только) проблемы, то есть класса задач, является в идеале построение соответствующего алгоритма, чтобы освободить математикам (и не только им) руки от рутинной работы для дальнейших действий, носящих творческий характер. Это и есть та сеть, о которой в своё время, примерно 2500 лет назад, говорил Будда. Не исключено, что у него был математический склад ума, так как он сразу разгадал сущность алгоритма : дело не в одной отдельной рыбе (задаче), а в средстве поймать любую рыбу (алгоритм для решения класса задач, чем-то похожих друг на друга).

До поры до времени математики изобретали алгоритмы для решения проблем, основываясь на интуитивном понимании того, что можно назвать алгоритмом:

а) алгоритм оперирует с конкретными, доступными воздействию (конструктивными) объектами и может применён к любому объекту из некоторого класса;

б) алгоритм задаётся конечным предписанием, которое составляется из некоторых элементарных шагов - операций; в предписании чётко сформулирована их последовательность, исключающая неоднозначную трактовку;

в) всякий раз применяя алгоритм к одному и тому же объекту, мы должны получать один и тот же результат.

ТЕЗИС ПЯТЫЙ           (см. эпиграф пятый)

И всё было бы прекрасно, если бы дело не дошло до так называемых алгоритмически неразрешимых проблем. Что такое алгоритмически неразрешимая проблема? А это такой химерный класс задач, что нельзя предложить никакого единого алгоритма, который решал бы все задачи из указанного класса. То есть процедуры для решения отдельных, даже нескольких  задач можно предложить, но для всех-то  они не годятся!

Один из важнейших результатов подобного характера был получен Куртом Гёделем: не существует алгоритма, который для всякого суждения в арифметике позволял бы узнать, истинно оно или ложно. Точнее, было показано, что не существует подобного алгоритма из некоторого алгоритмического класса. Так может быть этот, рассмотренный Гёделем, класс не исчерпывает всех возможных алгоритмов?

Возникла совершенно новая ситуация. До тех пор, пока математики верили в возможность того, что все поставленные математические задачи могут быть решены алгоритмически, у них не было повода уточнять понятие алгоритма: когда для решения какого-то класса проблем предлагался конкретный алгоритм, возникало соглашение считать его действительно алгоритмом. Только утверждение об алгоритмической неразрешимости, то есть доказательство невозможности решить проблему, которое апеллирует к рассмотрению всех мыслимых алгоритмов, настоятельно требует уточнения понятия алгоритма.

Начиная с 1935 года было предложено несколько таких уточнений. Подходы при этом были различными: первый подход - алгоритм есть вычисление некоторой функции; второй - алгоритм есть процедура преобразования одних записей в другие; третий - алгоритм есть некоторая автоматически работающая машина; четвёртый - алгоритм есть некоторая графическая схема. И поскольку была доказана эквивалентность (равнозначность) этих подходов в смысле способности записывать алгоритмы в интуитивном смысле, а также в силу того, что все на сей день существующие известные алгоритмы могут быть изображены ("промоделированы") как алгоритмы в точном смысле, на сегодняшний день господствует убеждение: описанные уточнения адекватно (полностью) выражают интуитивное представление об алгоритме.

А далее - самое важное: именно на развитии Тьюрингом и Постом теории автоматических машин базируется современное победное шествие компьютеров во всех областях деятельности человека! Именно в абстрактной теории вначале была обоснована возможность построения такого    универсального вычислителя, которым является компьютер, а затем Алан Тьюринг участвовал в практической реализации предложенного им идеализированного вычислительного устройства. А ведь всё, грубо говоря, начиналось с амперсанда! Ну а что такое амперсанд и почему он стал символом математической логики, вы узнаете из раздела 1. От Аристотеля до Гёделя.